EJEMPLOS DE OPTIMIZACION 1

OPTIMIZACIÓN

En matemáticas la optimización o programación matemática intenta dar respuesta a un tipo general de problemas donde se desea elegir el mejor entre un conjunto de elementos. En su forma más simple, el problema equivale a resolver una ecuación de este tipo:

Donde x = (x₁,...,x_n) es un vector y representa variables de decisión, f(x) es llamada función objetivo y representa o mide la calidad de las decisiones (usualmente números enteros o reales) y Ω es el conjunto de puntos o decisiones factibles o restricciones del problema.

Algunas veces es posible expresar el conjunto de restricciones Ω como solución de un sistema de igualdades o desigualdades.

Un problema de optimización trata entonces de tomar una decisión óptima para maximizar (ganancias, velocidad, eficiencia, etc.) o minimizar un criterio determinado (costos, tiempo, riesgo, error, etc). Las restricciones significan que no cualquier decisión es posible.

TIPOS DE OPTIMIZACIONES

Según el nivel de generalidad que tome el problema, será la resolución que se plantee.

Optimización clásica

Si la restricción no existe, o es una restricción de igualdad, con menor o igual número de variables que la función objetivo entonces, el cálculo diferencial, da la respuesta, ya que solo se trata de buscar los valores extremos de una función.

Optimización con restricciones de desigualdad - optimización no clásica

Si la restricción contiene mayor cantidad de variables que la función objetivo, o la restricción contiene restricciones de desigualdad, existen métodos en los que en algunos casos se pueden encontrar los valores máximos o mínimos.

Optimización estocástica

Cuando las variables del problema (función objetivo y/o restricciones) son variables aleatorias el tipo de optimización realizada es optimización estocástica.

Optimización con información no perfecta

En este caso la cantidad de variables, o más aún la función objetivo puede ser desconocida o también variable. En este campo, la matemática conocida como matemática borrosa[1], está realizando esfuerzos, por resolver el problema. Sin embargo, como el desarrollo de esta área de la matemática es aún demasiado incipiente, son escasos los resultados obtenidos.

EJEMPLO

·         Recortando convenientemente en cada esquina una lamina de carton de dimensiones de 80cm, x 50cm. Un cuadrado del lado x y dobalndo convenientemente se construye una caja. Calcular x para que el volumen de dicha caja sea máximo.

V= (80-2x) (50-2x) x=4^x3- 260x2+ 4000x

V’=12^x2-520x+4000

12^x2=520x+4000=0

X=10          x=33.3 (no es válida 50-2x<0)

V’’= 24x-520

V’’ (10)= 24.10 -520<0

·         Un hoja de papel debe tener 18cm2 de texto impreso, márgenes superior e interior de 2cm de altura y márgenes laterales de 1cm de ancho obtener razonadamente las dimensiones minimizan la superficie del papel

S= x y

(x-2) (y-4)=18           y= 4x+10

                                         X-2

S= x  4x+10= 4^x2 +10x

             X-2        x-2

S’= (8x+20) (x-2)-(4^x2+10x)

             (x-2)²

4^x2-16x-20

 (x-2)²

4^x2-16x-20=0

(x-2)²

X=5

X=-1 ( no es válida)