APLICACION DE MAXIMOS Y MINIMOS

Existen muchos campos del conocimiento (aritmética, geometría, economía, física, biología, industria, etc.) donde se presentan problemas que se resuelven aplicando los conceptos de máximos y mínimos del cálculo diferencial.
Para resolver los problemas a partir de los datos existentes, es importante en primer lugar, encontrar la expresión matemática de la función que represente el problema y cuyos valores máximos o mínimos se desean obtener.
Si la expresión matemática contiene varias variables, deberá plantearse en función de una sola; las condiciones del problema deben aportar suficientes relaciones entre las variables, para poderse expresar a todas ellas en función de una sola variable independiente.
Una vez que se tenga la función en la forma Y=f(X), se aplican las normas ya estudiadas.
En muchos problemas prácticos resulta muy sencillo identificar cuales valores críticos dan máximos o mínimos; y en consecuencia, ya no será necesario aplicar el procedimiento completo.
Es conveniente construir la grafica que represente la función en cuestión, a fin de verificar los resultados obtenidos

OPTIMIZACION 2

Se quiere construir un recipiente cónico de generatriz

¿Cuál debe ser el radio de la base?

10 cm. y de capacidad máxima.

Función a maximizar:

V

13

r2h

Relacionar variables:

h

Estudiamos la función:

2 r2 100 r2 100 h2 0 h 10

Vh

13

r2h 13

100 h2 h 13

100h h3

V

h 13

3 (El valor negativo no es solución)

Intervalos 0,

3

100

3

100

3

signo

100 3h2 0 h 100100, 10V 0

función

Máximo relativo en

3

V Max r h 100

r

3

3

3

2 100 h2 100 100 200 r 200

Solución: El radio de la base debe ser

3


2008. 16 cm.

EJEMPLOS DE OPTIMIZACION

SOLUCION FINAL DEL PROBLEMA

Con esta solución disminuiremos al máximo el tamaño de la lata

DERIVACION IMPLICITA

DERIVACION IMPLICITA

Es posible derivar una función dada implícitamente sin necesidad de expresarlo explícitamente. El método consiste en derivar los dos miembros de la relación. El procedimiento se conoce como derivación implícita.

Definición: se denomina función implícita cuando se da una relación entre x y   por medio de una ecuación no resuelta para y, entonces y se llama función implícita de x.

DERIVACION EN CADENA

DERIVACION  EN CADENA

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.

DERIVADAS

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CONSTANTE

Sea una función constante f(x) = C.

Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),

                            f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que

Luego la derivada de una constante es siempre cero.

DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

La derivada de la función exponencial es igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.

DERIVADA DE UN PRODUCTO

La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero.

DERIVADA DE UN COCIENTE

La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.

DERIVADA DE UNA RAÍZ

La derivada de la raíz enésima de una función es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raíz enésima de la función radicando elevada a n menos uno.

Derivadas 1/10

CRITERIOS DE DERIVADAS Y PUNTOS CRITICOS

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos relativos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico c.

TEOREMA VALOR MÁXIMO Y MÍNIMO

"Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo abierto I que contiene a c. Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces f(c) puede clasificarse como sigue."

1. Si f'(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (cf. (c)).

2. Si f'(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (cf. (c)).

3. Si f'(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo. El criterio no decide.

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.

Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a c, y f'(c) = 0, f(c) debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c y f'(c) = 0, f(c) debe ser un máximo relativo de f.

TEOREMA

Sea f una función tal que f'(c) = 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c

1. Si f''(c) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (cf. (c)).
2. Si f''(c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (cf. (c)).

Si f''(c) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizás tenga un máximo relativo en c, un mínimo relativo en (cf. (c)) o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada

PUNTOS CRITICOS DE MAXIMOS, MINIMOS E INFLEXION

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Recordemos que f derivable, es estrictamente creciente (decreciente) en a si, y sólo si f´(a) >0 (f´(a) <0); lo que geométricamente significa que la pendiente de la recta tangente en dicho punto es positiva (negativa).

Recordemos también que si f derivable posee un máximo o un mínimo relativo en entonces f´(x) = 0; es decir, ese es un punto de tangente horizontal.

Veamos los criterios básicos para decidir si un punto es máximo o mínimo relativo:

1. Por la definición en un entorno del punto.
2. Por la variación del signo de la derivada primera en un entorno del punto, aunque la función no sea derivable en dicho punto:
1. f decreciente en (a, c) y creciente en (c, b) posee un mínimo en (cf. (c)).
2. f creciente en (a, c) y decreciente en (c, b) posee un máximo en (cf. (c)).

EJEMPLOS

4. Por el signo de la derivada segunda en dicho punto (la función ha de ser dos veces derivable).
1. Si f´(a) = 0 y f´´(x) > 0, f posee en a un mínimo local.
2. Si f´(a) = 0 y f´´(x) < 0, f posee en a un máximo local.

PUNTO DE INFLEXIÓN

Un punto I(a, f(a)) es de inflexión si en dicho punto la función pasa de cóncava a convexa o viceversa.

PROPOSICIÓN.

Sea f dos veces derivable en a.

Si a es punto de inflexión, entonces f´´(a) = 0

Demostración:
Si es f´´(a) > 0 ó f´´(a) < 0 y sería convexa o cóncava.

EJEMPLOS DE OPTIMIZACION 1

OPTIMIZACIÓN

En matemáticas la optimización o programación matemática intenta dar respuesta a un tipo general de problemas donde se desea elegir el mejor entre un conjunto de elementos. En su forma más simple, el problema equivale a resolver una ecuación de este tipo:

Donde x = (x₁,...,x_n) es un vector y representa variables de decisión, f(x) es llamada función objetivo y representa o mide la calidad de las decisiones (usualmente números enteros o reales) y Ω es el conjunto de puntos o decisiones factibles o restricciones del problema.

Algunas veces es posible expresar el conjunto de restricciones Ω como solución de un sistema de igualdades o desigualdades.

Un problema de optimización trata entonces de tomar una decisión óptima para maximizar (ganancias, velocidad, eficiencia, etc.) o minimizar un criterio determinado (costos, tiempo, riesgo, error, etc). Las restricciones significan que no cualquier decisión es posible.

TIPOS DE OPTIMIZACIONES

Según el nivel de generalidad que tome el problema, será la resolución que se plantee.

Optimización clásica

Si la restricción no existe, o es una restricción de igualdad, con menor o igual número de variables que la función objetivo entonces, el cálculo diferencial, da la respuesta, ya que solo se trata de buscar los valores extremos de una función.

Optimización con restricciones de desigualdad - optimización no clásica

Si la restricción contiene mayor cantidad de variables que la función objetivo, o la restricción contiene restricciones de desigualdad, existen métodos en los que en algunos casos se pueden encontrar los valores máximos o mínimos.

Optimización estocástica

Cuando las variables del problema (función objetivo y/o restricciones) son variables aleatorias el tipo de optimización realizada es optimización estocástica.

Optimización con información no perfecta

En este caso la cantidad de variables, o más aún la función objetivo puede ser desconocida o también variable. En este campo, la matemática conocida como matemática borrosa[1], está realizando esfuerzos, por resolver el problema. Sin embargo, como el desarrollo de esta área de la matemática es aún demasiado incipiente, son escasos los resultados obtenidos.

EJEMPLO

·         Recortando convenientemente en cada esquina una lamina de carton de dimensiones de 80cm, x 50cm. Un cuadrado del lado x y dobalndo convenientemente se construye una caja. Calcular x para que el volumen de dicha caja sea máximo.

V= (80-2x) (50-2x) x=4^x3- 260x2+ 4000x

V’=12^x2-520x+4000

12^x2=520x+4000=0

X=10          x=33.3 (no es válida 50-2x<0)

V’’= 24x-520

V’’ (10)= 24.10 -520<0

·         Un hoja de papel debe tener 18cm2 de texto impreso, márgenes superior e interior de 2cm de altura y márgenes laterales de 1cm de ancho obtener razonadamente las dimensiones minimizan la superficie del papel

S= x y

(x-2) (y-4)=18           y= 4x+10

                                         X-2

S= x  4x+10= 4^x2 +10x

             X-2        x-2

S’= (8x+20) (x-2)-(4^x2+10x)

             (x-2)²

4^x2-16x-20

 (x-2)²

4^x2-16x-20=0

(x-2)²

X=5

X=-1 ( no es válida)

MALLA DEL CURSO

OBJETIVO DE GRADO:

Estudiar funciones de variable real, límites y  derivadas, como conceptos básicos para resolver problemas de la vida, que involucren minimizar o maximizar cantidades, costos, áreas, tiempo.

PREGUNTA PROBLEMATIZADORA:

¿cuáles deben ser las dimensiones óptimas para que el costo del material empleado en una lata de cerveza,coca-cola o atú´sea mínima?

CONCLUSIONES.

• La malla es una herramienta que permite a los estudiantes, estar enterados de cual será su función y el trabajo que deben realizar
• La pregunta problematizadora es un abrebocas a lo que se va a ver después en clase, en que el estudiante se puede ir familiarizando con el tema, y si lo desea, investigar sobre él.
• Estudiar algunas temas de variable, límites y  derivadas,  conceptos para resolver problemas cotidianos, que involucren minimizar cantidades, costos, áreas, tiempo. estos temas seran de gran utilidadd en el futuro.

 

GRADO:        ONCE PERIODO:    PRIMERO

INTENSIDAD HORARIA :   3 horas semanales DOCENTE:                           GUILLERMO LEÓN ROLDÁN SOSA

OBJETIVO DE GRADO: Estudiar funciones de variable real, límites y  derivadas, como conceptos básicos para resolver problemas de la vida, que involucren minimizar o maximizar cantidades, costos, áreas, tiempo.

PREGUNTA PROBLEMATIZADORA: ¿CUÁLES DEBEN SER LAS DIMENSIONES ÓPTIMAS PARA QUE EL COSTO DEL MATERIAL EMPLEADO EN UNA LATA DE CERVEZA, COCACOLA O ATÚN SEA MINIMO?

CONTENIDOS

ESTANDARES

COMPETENCIAS

LOGROS

INDICADORES DE DESEMPEÑO

INSTANCIAS VERIFICADORAS

ACCIONES EVALUATIVAS

FECHAS

Desigualdades e Inecuaciones. Axiomas de orden en R. Intervalos. Propiedades de las desigualdades Problemas. VALOR ABSOLUTO. Definición. Propiedades. Ejercicios FUNCIONES. Definición. Funciones básicas Dominio, Rango Problemas de la vida.

Pensamiento numérico y sistemas numéricos Pensamiento variacional   y sistemas algebraicos y analíticos

Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas. Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar dichas representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración. Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y porqué usarlos de manera  flexible y eficaz.

Resolver inecuaciones por el método del cementerio Y el método analítico. Resolver ecuaciones e inecuación que contienen valores absolutos. Aplicar la definición de función a diferentes relaciones. Resolver problemas que involucran funciones.

Resuelve inecuaciones por el método del cementerio Y el método analítico. Resuelve ecuaciones e inecuación que contienen valores absolutos. Aplica la definición de función a diferentes Resuelve problemas que involucran funciones.

1. La solución deinecuaciones por  el método del cementerio Y el método analítico. 2. La solución de  ecuaciones e inecuación que contienen valores absolutos. 3.  La aplicación de la definición de función a diferentes relaciones 4. La solución a problemas que involucran funciones. El valor y el respeto al trabajo y la participación del otro, en todos los ámbitos académicos y de convivencia.

Evaluación escrita Evaluación escrita Evaluación escrita Evaluación escrita .

Semana 4 Semana 5 Semana 6 Semana 8

GRADO:        ONCE PERIODO:     SEGUNDO

INTENSIDAD HORARIA :    3 horas semanales DOCENTE:                            GUILLERMO LEÓN ROLDÁN SOSA

OBJETIVO DE GRADO: Estudiar funciones de variable real, límites y  derivadas, como conceptos básicos para resolver problemas de la vida, que involucren minimizar o maximizar cantidades, costos, áreas, tiempo.

PREGUNTA PROBLEMATIZADORA: ¿CUÁLES DEBEN SER LAS DIMENSIONES ÓPTIMAS PARA QUE EL COSTO DEL MATERIAL EMPLEADO EN UNA LATA DE CERVEZA, COCACOLA O ATÚN SEA MINIMO?

CONTENIDOS

ESTANDARES

COMPETENCIAS

LOGROS

INDICADORES DE DESEMPEÑO

INSTANCIAS VERIFICADORAS

ACCIONES EVALUATIVAS

FECHAS

Transformación de funciones. Desplazamientos Verticales. Desplazamiento horizontal. Reflexión. Estiramiento y acortamiento vertical. Acortamiento y alargamiento horizontal. Función par e impar. Dominio, Rango. Interceptos. Función uno a uno Y sobre. Función Inyectiva. Función Inversa.

Pensamiento numérico y sistemas numéricos Pensamiento variacional   y sistemas algebraicos y analíticos

Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas. Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar dichas representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración. Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y porqué usarlos de manera  flexible y eficaz.

Graficar funciones partiendo de funciones básicas, empleando los conceptos de traslación, estiramiento, encogimiento y reflexión. Determinar el Dominio, el Rango y los intersectos de una función. Identificar, clasificar una función en par o impar. Identificar si una función tiene inversa y calcularla.

Grafica funciones partiendo de funciones básicas, empleando los conceptos de traslación, estiramiento, encogimiento y reflexión. Determina el Dominio, el Rango y los intersectos de una función. Identifica, clasifica una función en par o impar. Identifica si una función tiene inversa y la calcula

1. La gráfica de una función usando funciones básicas, desplazamientos verticales y horizontales. 2. La gráfica de una función usando funciones básicas, alargamientos y reflexiones verticales y horizontales 3. El cálculo del Dominio, Rango, Interceptos. 4. La determinación si la gráfica de una FUNCIÓN es inyectiva y, si por lo tanto tiene Inversa. . El valor y el respeto al trabajo y la participación del otro, en todos los ámbitos académicos y de convivencia.

Evaluación escrita Evaluación escrita Evaluación escrita Evaluación escrita .

Semana 4 Semana 5 Semana 6 Semana 8

RECURSOS PEDAGOGICOS Ordenadores, programas o proyectos virtuales como DESCARTES y GEOGEBRA, DVD’, sala de informática, Internet, libros virtuales, papel cuadriculado, lápiz, reglas, escuadras, libros , fotocopias, borradores, tizas, marcadores, GRUPO GALOIS.

GRADO:        ONCE PERIODO:     TERCERO

INTENSIDAD HORARIA :    3 horas semanales DOCENTE:                            GUILLERMO LEÓN ROLDÁN SOSA

OBJETIVO DE GRADO: Estudiar funciones de variable real, límites y  derivadas, como conceptos básicos para resolver problemas de la vida, que involucren minimizar o maximizar cantidades, costos, áreas, tiempo.

PREGUNTA PROBLEMATIZADORA: ¿CUÁLES DEBEN SER LAS DIMENSIONES ÓPTIMAS PARA QUE EL COSTO DEL MATERIAL EMPLEADO EN UNA LATA DE CERVEZA, COCACOLA O ATÚN SEA MINIMO?

CONTENIDOS

ESTANDARES

COMPETENCIAS

LOGROS

INDICADORES DE DESEMPEÑO

INSTANCIAS VERIFICADORAS

ACCIONES EVALUATIVAS

FECHAS

LIMITES. Definición, ejemplos, ejercicios Continuidad, Teorema del valor intermedio. DERIVADA. Recta tangente y normal a una curva. Velocidad instantánea. Definición de Derivada. Reglas de derivación. Regla de la cadena Derivada implícita.

Pensamiento numérico y sistemas numéricos Pensamiento variacional   y sistemas algebraicos y analíticos

Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas. Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar dichas representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración. Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y porqué usarlos de manera  flexible y eficaz.

Calcular límites cuando la variable tiende a un valor finito. Eliminar indeterminaciones de la forma 0/0. Determinar la continuidad de una función. Calcular la derivada de funciones.

Calcula límites cuando la variable tiende a un valor finito. Elimina indeterminaciones de la forma 0/0. Determina la continuidad de una función. Calcula la derivada de funciones.

1. El cálculo delímites cuando la variable tiende a un valor finito. 2. La eliminación de indeterminaciones de la forma 0/0. 3. La determinación de la continuidad o no de una función. 4. El calcular la derivada de una función real. . El valor y el respeto al trabajo y la participación del otro, en todos los ámbitos académicos y de convivencia.

Evaluación escrita Evaluación escrita Evaluación escrita Evaluación escrita .

Semana 4 Semana 5 Semana 6 Semana 8

RECURSOS PEDAGOGICOS Ordenadores, programas o proyectos virtuales como DESCARTES y GEOGEBRA, DVD’, sala de informática, Internet, libros virtuales, papel cuadriculado, lápiz, reglas, escuadras, libros , fotocopias, borradores, tizas, marcadores, GRUPO GALOIS.

GRADO:        ONCE PERIODO:     CUARTO

INTENSIDAD HORARIA :    3 horas semanales DOCENTE:                            GUILLERMO LEÓN ROLDÁN SOSA

OBJETIVO DE GRADO: Estudiar funciones de variable real, límites y  derivadas, como conceptos básicos para resolver problemas de la vida, que involucren minimizar o maximizar cantidades, costos, áreas, tiempo.

PREGUNTA PROBLEMATIZADORA: ¿CUÁLES DEBEN SER LAS DIMENSIONES ÓPTIMAS PARA QUE EL COSTO DEL MATERIAL EMPLEADO EN UNA LATA DE CERVEZA, COCACOLA O ATÚN SEA MINIMO?

CONTENIDOS

ESTANDARES

COMPETENCIAS

LOGROS

INDICADORES DE DESEMPEÑO

INSTANCIAS VERIFICADORAS

ACCIONES EVALUATIVAS

FECHAS

APLICACIONES DE LA DERIVADA. Máximos y mínimos relativos y absolutos. Números críticos. Teorema del valor medio y el valor extremo. Criterios de la primera y segunda derivada Concavidad. Problemas de OPTIMIZACIÖN.

Pensamiento numérico y sistemas numéricos Pensamiento variacional   y sistemas algebraicos y analíticos

Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas. Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar dichas representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración. Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y porqué usarlos de manera  flexible y eficaz.

Hallar máximos y mínimos relativos y absolutos de una función. Obtener valores críticos de una función. Determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento. Determinar concavidad. Resolver problemas de Optimización

Halla máximos y mínimos relativos y absolutos de una función. Obtiene valores críticos de una función. Determina intervalos de crecimiento y decrecimiento. Determina concavidad. Resuelve problemas de Optimización

1. Los máximos y mínimos relativos y absolutos de una función. 2. Los valores críticos de una función. 3. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. La Determinación de la concavidad. 4. La solución de problemas de Optimización El valor y el respeto al trabajo y la participación del otro, en todos los ámbitos académicos y de convivencia.

Evaluación escrita Evaluación escrita Evaluación escrita Evaluación escrita .

Semana 4 Semana 5 Semana 6 Semana 8

RECURSOS PEDAGOGICOS Ordenadores, programas o proyectos virtuales como DESCARTES y GEOGEBRA, DVD’, sala de informática, Internet, libros virtuales, papel cuadriculado, lápiz, reglas, escuadras, libros , fotocopias, borradores, tizas, marcadores, GRUPO GALOIS.