APLICACION DE MAXIMOS Y MINIMOS

Existen muchos campos del conocimiento (aritmética, geometría, economía, física, biología, industria, etc.) donde se presentan problemas que se resuelven aplicando los conceptos de máximos y mínimos del cálculo diferencial.
Para resolver los problemas a partir de los datos existentes, es importante en primer lugar, encontrar la expresión matemática de la función que represente el problema y cuyos valores máximos o mínimos se desean obtener.
Si la expresión matemática contiene varias variables, deberá plantearse en función de una sola; las condiciones del problema deben aportar suficientes relaciones entre las variables, para poderse expresar a todas ellas en función de una sola variable independiente.
Una vez que se tenga la función en la forma Y=f(X), se aplican las normas ya estudiadas.
En muchos problemas prácticos resulta muy sencillo identificar cuales valores críticos dan máximos o mínimos; y en consecuencia, ya no será necesario aplicar el procedimiento completo.
Es conveniente construir la grafica que represente la función en cuestión, a fin de verificar los resultados obtenidos

OPTIMIZACION 2

Se quiere construir un recipiente cónico de generatriz

¿Cuál debe ser el radio de la base?

10 cm. y de capacidad máxima.

Función a maximizar:

V

13

r2h

Relacionar variables:

h

Estudiamos la función:

2 r2 100 r2 100 h2 0 h 10

Vh

13

r2h 13

100 h2 h 13

100h h3

V

h 13

3 (El valor negativo no es solución)

Intervalos 0,

3

100

3

100

3

signo

100 3h2 0 h 100100, 10V 0

función

Máximo relativo en

3

V Max r h 100

r

3

3

3

2 100 h2 100 100 200 r 200

Solución: El radio de la base debe ser

3


2008. 16 cm.

EJEMPLOS DE OPTIMIZACION

SOLUCION FINAL DEL PROBLEMA

Con esta solución disminuiremos al máximo el tamaño de la lata

DERIVACION IMPLICITA

DERIVACION IMPLICITA

Es posible derivar una función dada implícitamente sin necesidad de expresarlo explícitamente. El método consiste en derivar los dos miembros de la relación. El procedimiento se conoce como derivación implícita.

Definición: se denomina función implícita cuando se da una relación entre x y   por medio de una ecuación no resuelta para y, entonces y se llama función implícita de x.

DERIVACION EN CADENA

DERIVACION  EN CADENA

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.

DERIVADAS

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CONSTANTE

Sea una función constante f(x) = C.

Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),

                            f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que

Luego la derivada de una constante es siempre cero.

DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

La derivada de la función exponencial es igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.

DERIVADA DE UN PRODUCTO

La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero.

DERIVADA DE UN COCIENTE

La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.

DERIVADA DE UNA RAÍZ

La derivada de la raíz enésima de una función es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raíz enésima de la función radicando elevada a n menos uno.