CRITERIOS DE DERIVADAS Y PUNTOS CRITICOS

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos relativos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico c.

TEOREMA VALOR MÁXIMO Y MÍNIMO

"Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo abierto I que contiene a c. Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces f(c) puede clasificarse como sigue."

1. Si f'(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (cf. (c)).

2. Si f'(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (cf. (c)).

3. Si f'(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo. El criterio no decide.

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.

Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a c, y f'(c) = 0, f(c) debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c y f'(c) = 0, f(c) debe ser un máximo relativo de f.

TEOREMA

Sea f una función tal que f'(c) = 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c

1. Si f''(c) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (cf. (c)).
2. Si f''(c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (cf. (c)).

Si f''(c) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizás tenga un máximo relativo en c, un mínimo relativo en (cf. (c)) o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada

PUNTOS CRITICOS DE MAXIMOS, MINIMOS E INFLEXION

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Recordemos que f derivable, es estrictamente creciente (decreciente) en a si, y sólo si f´(a) >0 (f´(a) <0); lo que geométricamente significa que la pendiente de la recta tangente en dicho punto es positiva (negativa).

Recordemos también que si f derivable posee un máximo o un mínimo relativo en entonces f´(x) = 0; es decir, ese es un punto de tangente horizontal.

Veamos los criterios básicos para decidir si un punto es máximo o mínimo relativo:

1. Por la definición en un entorno del punto.
2. Por la variación del signo de la derivada primera en un entorno del punto, aunque la función no sea derivable en dicho punto:
1. f decreciente en (a, c) y creciente en (c, b) posee un mínimo en (cf. (c)).
2. f creciente en (a, c) y decreciente en (c, b) posee un máximo en (cf. (c)).

EJEMPLOS

4. Por el signo de la derivada segunda en dicho punto (la función ha de ser dos veces derivable).
1. Si f´(a) = 0 y f´´(x) > 0, f posee en a un mínimo local.
2. Si f´(a) = 0 y f´´(x) < 0, f posee en a un máximo local.

PUNTO DE INFLEXIÓN

Un punto I(a, f(a)) es de inflexión si en dicho punto la función pasa de cóncava a convexa o viceversa.

PROPOSICIÓN.

Sea f dos veces derivable en a.

Si a es punto de inflexión, entonces f´´(a) = 0

Demostración:
Si es f´´(a) > 0 ó f´´(a) < 0 y sería convexa o cóncava.